这个关于素数的鲜为人知但很棒的属性可能会改变您对加密的看法

Image by F. Zielen (original of Euler by J. E. Handmann)

质数构成现代加密的基础。 原因很简单：到目前为止，我们还不了解g 4 l 4 } s &它们的数学性质。 但是，通过解开素数，世界将发生巨大变化。 在本文中，我介绍了一些关于素数的鲜为人知但令人敬畏的特性，它可7 - p 2能会改变您对密码学的看法。 不用担心，这在高管层上将是简短易懂的内容。

回顾和动机

让我们来回顾一下：质数是整数，只能被1除或数字本身无除W ; m 8 = B D -。 例如，5是质= U C h Q N = K数（除数1和5），但6不是质数（除数1，2，3和6）。

有无限- b g F 4质数，但到目前为止，尚无有效的算法来确定它们。 特别是，没有公式来计算第n个素数，也没有递归的方法，即如# k X [果我们知道前面的（较小的）素数- V B h W M q c，我们就可4 Q 3 C ( } V以计算素数，也没有明确的方式，即我们可以不知道前面的素数而直接计算素数。

例如，这使得著名的RSA密码系统如此安全。W 0 + j z ] 7 7 R 加密所需的公钥基于两个（很大）质数的乘积。 如果要导出T 2 b L t ? 3 P解密所需的私钥，则\"只是\"需要确定该产品的主要因素。 但是，这目前需要花费大量计算时间，因此RSA在实践中无法解锁。

但是，如果我们发现立即计算素数的公式，将会发生什么？ 这也可能产生非常快速的素数分解方法，这对于当今大多数密码系统而言将意味着死刑。 但是T M 0 ~ $，甚至有可能找到素数的公式吗？

惊H R P ` Y人的欧拉公式

莱昂哈德欧拉（Leonhard Euler）是世界上最杰出的数学家之一。 在18世纪，. R他得出了一种如今被称为欧拉积的公式。 在这里，我们重点介绍他开拓性发现的特殊d , & 0 a S ^情况。 即使下一行乍一看象形文字，也请不要停止阅读。

Euler product

我们进行翻译：等式左侧的符号代表乘积。 此外，它是所有质数的无限乘积，即我们需要用所` F n [ g有质数替S - - | A换变量p并乘以项。 让我们写下来清楚。

First factors of the Euler product

这意味着：如7 y K a w R D l果我们* w $ B 3 K ) f计算以上乘积所有质数的乘积，我们将得到明确定义的结果pi/ 6。 太棒了，感觉像是个谜。 请让我告诉你为什么。

破坏性后果

我们{ ; t知道有无限的质数，但是我们没有质数的封闭式有效表示形式（\"公式\B i n 0 R"）。 有了计算能力，我们可以确定最大的已知质数。 尽管如此，欧拉证明了如果我们根据欧拉乘积将所有素数相乘，我M 6 e T K们将获得pi/ 6值-尽管我们不知道所$ { M J O有素数！

恕我直言，这表明到目前为止我们还没有发现很多有关质数的知识。 如果我们可以在无穷多个素数上计算出欧拉积，那么我们也应r ? ]该能够导出素数的公式。 例如，对于特殊质数，闭合表示是已知的。

这表明r # e我们必须加大数字理论研究的力度，以发现z { S B 3 6 ;素数的真实性质。 可能会迷惑于此任务的人将受到庆祝或迫害。

奥托罗

我问R I Y + q $ 4 7自己这样一个书呆子的话题是否会吸引读者。 我是数论l & }爱好者，但是，这不是m U P F r ^ 0我的日常工作，因此感谢您的评论。 如果您想进一H y s J & ~ z !步了解这些东西或数学，请告诉我，也许我会写一篇后续文章。

(本文翻译自Frank Zielen的文章《W# N o } C ` i Y 0hy EulK = B R yer\'s Formula for Primes could disrupt the World》，参考：https://towardsda. U E y o x D Qtascience.com/why-eulers-formula-for-priv ( ? * P emes-could-disrupt-the-world-edc41bd3ba5b)